Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen, willkommen zurück zur Vorlesung. Heute beschäftigen wir uns mit

Tangentialvektoren und das ist in der Tat einer der technischen Schlüsselbegriffe in der Mechanik.

Und wir werden das natürlich auf Grundlage dessen entwickeln, was wir bisher gemacht haben,

aber die Intuition ist Ihnen wohl allen vertraut. Stellen Sie sich vor, Sie bewegen sich,

Sie haben eine Kurve auf einer Mannigfaltigkeit, auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und

die Intuition hinter dem Tangentialvektor ist wohl die, dass Sie laufen und wenn zu einem bestimmten

Zeitpunkt Sie irgendwo sind, können Sie zu jedem bestimmten Zeitpunkt den Tangentialvektor an diese

Kurve angucken oder man würde physikalisch auch sagen, man würde physikalisch auch sagen den

Geschwindigkeitsvektor und es ist ja eigentlich ein ganz schönes Bild und man könnte jetzt denken,

nun gut, wir betten diese Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Raum ein, also zum Beispiel

diese zweidimensionale Mannigfaltigkeit hier, die bettelt man in den dreidimensionalen Raum ein und

kann dann natürlich die in den dreidimensionalen Raum wegstehenden Vektoren wunderbar verstehen.

Das kann man tatsächlich auch so machen, aber wir machen das technisch anders aus einem technischen

Grund, aber auch aus einem philosophischen Grund, denn stellen Sie sich mal vor, wir wollen mit

dieser Mannigfaltigkeit das gesamte Universum beschreiben, die gesamte Raumzeit sogar, da wäre

es ja aber witzig, das gesamte Universum in etwas noch größeres einbetten zu müssen, um plötzlich

von Geschwindigkeitsvektoren, von Kurven reden zu können. Das läge ja dann außerhalb des Universums,

das ist zumindest mal philosophisch nicht so besonders schön und man nennt das in der

Differentialgeometrie, würde man dieses Bild, würde man eine extrinsische Definition oder

ein extrinsisches Bild eines Tangentialvektors nennen und was wir machen wollen ist eine

intrinsische Definition, bei der die Geschwindigkeit nicht Bezug nimmt, die Definition des Geschwindigkeitsvektors

nicht Bezug nimmt auf den umgebenden Raum und ich behaupte, das ist auch das viel natürlichere

Konzept, denn wenn Sie das neue Übungsblatt nehmen, befindet sich rechts oben ein kleines Bild

und da steht drunter Vektorzähler, das ist der geschwindende Fahrer, ja der Vektor, das ist der

Fahrer und in der Tat Ihre frühesten Kindheitserinnerungen an Geschwindigkeit sind mit

Sicherheit die im Auto, da wird Auto gefahren und ein Auto das hat zu einem bestimmten Zeitpunkt eine

bestimmte Geschwindigkeit und in der Tat ist Geschwindigkeit oder Geschwindigkeitsvektor

ist ja nichts was einfach so da ist, sondern es ist immer verbunden mit einer Bahnkurve, in

dem Fall der Bahnkurve des Autos und wenn Sie als Kind, wie erfahren Sie als Kind im Auto die

Geschwindigkeit? Bitte? Tacho, ja das ist schon fortgeschritten, bitte? Ja das ist nicht fortgeschritten

genug, wenn Sie gucken aus dem Fenster oder und da wuschen so die Bäume vorbei und die Pfosten an

der Seite der Straße nicht wahr, das heißt Sie schauen auf Ihre Umgebung und gucken wie das alles

so an Ihnen vorbeifließt und Sie könnten natürlich auch statt irgendwelcher Pfosten dort

aufzustellen, könnten Sie auch irgendwie schauen da ist so ein Gebirge und Sie fahren an diesem

Gebirge vorbei und Sie sehen wie es höher wird und wieder niedriger, wenn Sie zum Fenster rausgucken

wieder höher und wieder niedriger oder wenn Sie jetzt zum Beispiel durch Gebiete fahren mit großen

Temperaturschwankungen, dann stellen Sie fest, oh die Temperatur jetzt ist heiß, es ist wieder kalt,

es ist wieder heiß, wieder kalt und je schneller Sie fahren, desto schneller wechselt es ab, ja das

heißt wenn Sie entlang einer Kurve fahren mit Ihrem Auto und Sie betrachten eine Umgebung, sagen

wir mal die Funktionswerte in der Umgebung, Temperaturen, Berghöhen oder so irgendwas die

daneben dran sind und schauen wie die sich ändern während sie fahren, je schneller die sich ändern,

desto schneller fahren sie für gegebene Berge und gegebene Temperaturverteilung, nicht wahr? Und für

Bäume und was auch immer und genau das ist die intrinsische Beschreibung, da brauchen Sie gar

keinen umgebenden Raum, da brauchen Sie eben nur auf der mannig Faltigkeit, auf der sie fahren,

Referenzfunktionen. Okay, das ist die Intuition, das extrinsische Bild, was ich jetzt angedeutet

habe ist das intrinsische Bild und jetzt machen wir das alles technisch und erster Abschnitt glatte

Funktionen und glatte Kurven. So und das ist zunächst mal eine Erinnerung an die letzte Vorlesung,

da hatten wir ja sowas genommen wie eine glatte mannig Faltigkeit und was war das nochmal,

eine glatte mannig Faltigkeit, das war auf jeden Fall mal eine Menge M der Punkte,